अगर आप mp board 10th math varshik paper 2026 की तैयारी कर रहे हैं, तो यह आर्टिकल आपके लिए बहुत महत्वपूर्ण होने वाला है। यहाँ पर हम आपके लिए सेट A से लेकर सेट D तक संभावित महत्वपूर्ण प्रश्न और उनके उत्तर आसान भाषा में उपलब्ध कराने वाले हैं, जिससे आप परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकें।
जैसा कि आप जानते हैं, MP Board 10th Mathematics Varshik Paper 2026 का आयोजन 24 फरवरी 2026 दिन मंगलवार को होने वाला है। इस बार प्रश्न पत्र का कोड 100 (Standard & Basic Mathematics) रहेगा। इसलिए जो छात्र Standard Math और Basic Math से परीक्षा दे रहे हैं, दोनों के लिए यह आर्टिकल उपयोगी है।
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Roll No. ____________
Code: 270385
हाईस्कूल परीक्षा / High School Examination
(मुख्य / Main) वर्ष / Year – 2026
गणित / MATHEMATICS
(Hindi & English Version)
SET A
निर्देश / Instructions :
(i) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। / All questions are compulsory.
(ii) प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न हैं। / Question Nos. 1 to 5 are objective type questions.
(iii) प्रश्न क्रमांक 6 से 23 में आंतरिक विकल्प दिये गये हैं। / Internal options are given in Question Numbers 6 to 23.
(i) सभी प्रश्न अनिवार्य हैं। / All questions are compulsory.
(ii) प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक वस्तुनिष्ठ प्रकार के प्रश्न हैं। / Question Nos. 1 to 5 are objective type questions.
(iii) प्रश्न क्रमांक 6 से 23 में आंतरिक विकल्प दिये गये हैं। / Internal options are given in Question Numbers 6 to 23.
प्रश्न 1. सही विकल्प का चयन करके लिखिए: (1×6=6)
Select the correct option and write –
Select the correct option and write –
(i) 96 और 404 का HCF होगा –
(i) HCF of 96 and 404 will be –
उत्तर: (b) 4
(ii) द्विघात बहुपद ax2 + bx + c के शून्यकों का योगफल होता है:
(ii) The sum of zeroes of the quadratic polynomial ax2 + bx + c is:
उत्तर: (a) -b/a
(iii) निम्नलिखित में से दो चरों में रैखिक समीकरण है –
(iii) Which of the following is a linear equation in two variables –
उत्तर: (d) 5x + 6y = 7
(iv) समांतर श्रेणी (AP): 10, 7, 4, …….. का 30वां पद है –
(iv) The 30th term of the AP: 10, 7, 4, …….. is –
उत्तर: (c) -77
(v) किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी कहलाती है:
(v) The distance of a point from the y-axis is called:
उत्तर: (b) भुज (abscissa)
(vi) वृत्त के किसी एक बिंदु पर कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती हैं?
(vi) How many tangents can there be at any one point of a circle?
उत्तर: (a) 1
प्रश्न 2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (1×6=6)
Fill in the blanks –
Fill in the blanks –
(i) एक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 में कोई वास्तविक मूल नहीं होते यदि D …………. 0 हो।
(i) A quadratic equation ax2 + bx + c = 0 has no real roots if D …………. 0.
उत्तर: < (छोटा)
(ii) सभी वर्ग ………………………. होते हैं।
(ii) All squares are ……………………….
उत्तर: समरूप (similar)
(iii) sin2θ + cos2θ का मान ………………………. होता है।
(iii) The value of sin2θ + cos2θ is ……………………….
उत्तर: 1
(iv) किसी असंभव घटना की प्रायिकता ………………………. होती है।
(iv) The probability of an impossible event is ……………………….
उत्तर: 0 (शून्य)
(v) त्रिज्या r वाले वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र ………………………. है।
(v) The formula for the area of a circle with radius r is ……………………….
उत्तर: πr2
(vi) माध्यिका, माध्य और बहुलक के बीच संबंध: 3 × माध्यिका = बहुलक + 2 ……………………….।
(vi) Relationship between median, mean and mode: 3 × Median = Mode + 2 × ……………………….
उत्तर: माध्य (Mean)
प्रश्न 3. सत्य/असत्य लिखिए: (1×6=6)
Select true/false and write –
Select true/false and write –
(i) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।
(i) Every integer is a rational number.
उत्तर: सत्य (True)
(ii) स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
(ii) The radius passing through the point of tangency is perpendicular to the tangent line.
उत्तर: सत्य (True)
(iii) क्षैतिज तल से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के साथ अवनमन कोण बनाती है।
(iii) When looking upwards from a horizontal plane, the line of sight forms an angle of depression with the horizontal line.
उत्तर: असत्य (False) – उन्नयन कोण (Angle of elevation) बनाती है।
(iv) शंकु का आयतन बेलन के आयतन का आधा होता है।
(iv) The volume of a cone is half the volume of a cylinder.
उत्तर: असत्य (False) – एक तिहाई (one-third) होता है।
(v) वृत्त के दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
(v) A line that intersects a circle at two points is called a secant line.
उत्तर: सत्य (True)
(vi) प्रायिकता का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकता।
(vi) The value of probability can never be greater than 1.
उत्तर: सत्य (True)
प्रश्न 4. सही जोड़ी बनाकर लिखिए: (1×6=6)
Make the correct pair and write –
Make the correct pair and write –
| स्तंभ (A) | स्तंभ (B) |
|---|---|
| (i) sin2A + cos2A | (a) 5 |
| (ii) tan(90° – A) | (b) cot A |
| (iii) 5sec2A – 5tan2A | (c) lbh |
| (iv) घनाभ का आयतन (Volume of cuboid) | (d) 1 |
| (v) वर्ग का क्षेत्रफल (Area of square) | (e) a2 |
| (vi) P(E) + P(Ē) का मान क्या होगा? | (f) cos A |
(i) → (d) 1
(ii) → (b) cot A
(iii) → (a) 5
(iv) → (c) lbh
(v) → (e) a2
(vi) → (d) 1
प्रश्न 5. एक शब्द / वाक्य में उत्तर दीजिए: (1×6=6)
Answer in one word/sentence –
Answer in one word/sentence –
(i) द्विघात समीकरण का मानक रूप लिखिये।
(i) Write the standard form of a quadratic equation.
उत्तर: ax2 + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0)
(ii) उन्नयन कोण की परिभाषा लिखिये।
(ii) Write the definition of the angle of elevation.
उत्तर: जब वस्तु क्षैतिज रेखा (horizontal line) से ऊपर हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाले कोण को उन्नयन कोण कहते हैं।
(iii) वृत्त की छेदक रेखा किसे कहते हैं?
(iii) What is a secant line of a circle?
उत्तर: वह सरल रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद (intersect) करती है।
(iv) गोले के आयतन का सूत्र लिखिये।
(iv) Write the formula for the volume of a sphere.
उत्तर: V = &frac43;πr3
(v) 1, 2, 3, 4, 5 का समांतर माध्य क्या होगा?
(v) What is the arithmetic mean of 1, 2, 3, 4, and 5?
उत्तर: 3
(हल: (1+2+3+4+5)/5 = 15/5 = 3)
(vi) निश्चित घटना की प्रायिकता कितनी होती है?
(vi) What is the probability of a certain event?
उत्तर: 1
प्रश्न 6. 140 के अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप मे व्यक्त कीजिए। (2)
Express 140 as a product of prime factors.
Express 140 as a product of prime factors.
अथवा / OR
HCF(306,657) = 9 दिया है। LCM(306,657) ज्ञात कीजिए।
Given HCF(306,657) = 9. Find the LCM(306,657).
हल (Main): 140 = 2 × 70 = 2 × 2 × 35 = 2 × 2 × 5 × 7
अतः 140 = 22 × 5 × 7
हल (OR): हम जानते हैं कि: LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल LCM × 9 = 306 × 657 LCM = (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338
हल (OR): हम जानते हैं कि: LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल LCM × 9 = 306 × 657 LCM = (306 × 657) / 9 = 34 × 657 = 22338
प्रश्न 7. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिये जिसके शून्यकों के योग और गुणनफल क्रमश: -3 और 2 हैं। (2)
Find a quadratic polynomial whose sum and product of zeros are -3 and 2 respectively.
Find a quadratic polynomial whose sum and product of zeros are -3 and 2 respectively.
अथवा / OR
बहुपद x2 – 3 के शून्यक ज्ञात कीजिये।
Find the zeros of the polynomial x2 – 3.
हल (Main):
शून्यकों का योग (α + β) = -3
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = 2
द्विघात बहुपद = x2 – (α + β)x + αβ
= x2 – (-3)x + 2
= x2 + 3x + 2
हल (OR): x2 – 3 = 0 x2 = 3 x = ±√3 अतः शून्यक √3 और -√3 हैं।
हल (OR): x2 – 3 = 0 x2 = 3 x = ±√3 अतः शून्यक √3 और -√3 हैं।
प्रश्न 8. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिये। (2)
Solve the equations 2x + 3y = 11 and 2x – 4y = -24.
Solve the equations 2x + 3y = 11 and 2x – 4y = -24.
अथवा / OR
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिये।
The difference between two numbers is 26. And one number is three times the other. Find the numbers.
हल (Main):
समीकरण (1): 2x + 3y = 11
समीकरण (2): 2x – 4y = -24
समीकरण (1) में से (2) घटाने पर:
(2x + 3y) – (2x – 4y) = 11 – (-24)
7y = 35 ⇒ y = 5
y का मान समीकरण (1) में रखने पर: 2x + 15 = 11 ⇒ 2x = -4 ⇒ x = -2
हल (OR): माना संख्याएँ x और y हैं (जहाँ x > y)। प्रश्नानुसार: x – y = 26 — (1) x = 3y — (2) समीकरण (2) से x का मान (1) में रखने पर: 3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13 अतः x = 3(13) = 39 संख्याएँ 39 और 13 हैं।
हल (OR): माना संख्याएँ x और y हैं (जहाँ x > y)। प्रश्नानुसार: x – y = 26 — (1) x = 3y — (2) समीकरण (2) से x का मान (1) में रखने पर: 3y – y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13 अतः x = 3(13) = 39 संख्याएँ 39 और 13 हैं।
प्रश्न 9. द्विघात समीकरण 2x2 – 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात कीजिये। (2)
Find the discriminant of the quadratic equation 2x2 – 4x + 3 = 0.
Find the discriminant of the quadratic equation 2x2 – 4x + 3 = 0.
अथवा / OR
द्विघात समीकरण 2x2 + kx + 3 = 0 में k का मान ज्ञात कीजिए यदि मूल बराबर हों।
Find the value of k in the quadratic equation 2x2 + kx + 3 = 0 if the roots are equal.
हल (Main):
a = 2, b = -4, c = 3
विविक्तकर (Discriminant) D = b2 – 4ac
D = (-4)2 – 4(2)(3) = 16 – 24
D = -8
हल (OR): मूल बराबर होने की शर्त: D = 0 ⇒ b2 – 4ac = 0 k2 – 4(2)(3) = 0 k2 – 24 = 0 k2 = 24 ⇒ k = ±2√6
हल (OR): मूल बराबर होने की शर्त: D = 0 ⇒ b2 – 4ac = 0 k2 – 4(2)(3) = 0 k2 – 24 = 0 k2 = 24 ⇒ k = ±2√6
प्रश्न 10. समांतर श्रेणी (AP): 2, 7, 12 ……. का 10वां पद ज्ञात कीजिये। (2)
Find the 10th term of the arithmetic progression 2, 7, 12, …
Find the 10th term of the arithmetic progression 2, 7, 12, …
अथवा / OR
दो अंकों वाली कितनी संख्याएं 3 से विभाज्य हैं?
How many two-digit numbers are divisible by 3?
हल (Main):
प्रथम पद (a) = 2, सार्व अंतर (d) = 7 – 2 = 5
10वां पद (a10) = a + 9d
= 2 + 9(5) = 2 + 45 = 47
हल (OR): 3 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ: 12, 15, 18, …, 99 यह एक AP है जिसमें a = 12, d = 3, l (अंतिम पद) = 99 l = a + (n-1)d ⇒ 99 = 12 + (n-1)3 87 = 3(n-1) ⇒ 29 = n – 1 ⇒ n = 30
हल (OR): 3 से विभाज्य दो अंकों की संख्याएँ: 12, 15, 18, …, 99 यह एक AP है जिसमें a = 12, d = 3, l (अंतिम पद) = 99 l = a + (n-1)d ⇒ 99 = 12 + (n-1)3 87 = 3(n-1) ⇒ 29 = n – 1 ⇒ n = 30
प्रश्न 11. आकृति में यदि DE || BC है, तो EC ज्ञात कीजिये। (2)
In the given figure, if DE || BC, find the length of EC.
In the given figure, if DE || BC, find the length of EC.
अथवा / OR
क्या सभी समद्विबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं? कारण सहित बताइये।
Are all isosceles triangles similar? Explain with reasons.
हल (Main):
थेल्स प्रमेय (BPT) के अनुसार, यदि त्रिभुज में DE || BC हो, तो:
AD / DB = AE / EC
(चित्र के दिए गए मानों को इस सूत्र में रखकर EC निकाला जा सकता है।)
हल (OR): नहीं, सभी समद्विबाहु (isosceles) त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं। कारण: समरूपता के लिए संगत कोणों का बराबर होना आवश्यक है, जबकि दो अलग-अलग समद्विबाहु त्रिभुजों के कोण (जैसे एक का 50-50-80 और दूसरे का 60-60-60) अलग-अलग हो सकते हैं।
हल (OR): नहीं, सभी समद्विबाहु (isosceles) त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं। कारण: समरूपता के लिए संगत कोणों का बराबर होना आवश्यक है, जबकि दो अलग-अलग समद्विबाहु त्रिभुजों के कोण (जैसे एक का 50-50-80 और दूसरे का 60-60-60) अलग-अलग हो सकते हैं।
प्रश्न 12. बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिये। (2)
Find the distance between the points (2, 3) and (4, 1).
Find the distance between the points (2, 3) and (4, 1).
अथवा / OR
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जो बिंदुओं (4, -3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है।
Find the coordinates of the point that divides the line segment joining the points (4, -3) and (8, 5) in the ratio 3:1.
हल (Main):
दूरी सूत्र: D = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2]
D = √[(4 – 2)2 + (1 – 3)2]
D = √[(2)2 + (-2)2] = √(4 + 4) = √8 = 2√2 मात्रक
हल (OR): विभाजन सूत्र (Section Formula): x = (m1x2 + m2x1) / (m1+m2) y = (m1y2 + m2y1) / (m1+m2) x = (3×8 + 1×4) / 4 = 28 / 4 = 7 y = (3×5 + 1×-3) / 4 = 12 / 4 = 3 अतः निर्देशांक (7, 3) हैं।
हल (OR): विभाजन सूत्र (Section Formula): x = (m1x2 + m2x1) / (m1+m2) y = (m1y2 + m2y1) / (m1+m2) x = (3×8 + 1×4) / 4 = 28 / 4 = 7 y = (3×5 + 1×-3) / 4 = 12 / 4 = 3 अतः निर्देशांक (7, 3) हैं।
प्रश्न 13. यदि sin A = ¾ हो, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिये। (2)
If sin A = ¾, calculate the values of cos A and tan A.
If sin A = ¾, calculate the values of cos A and tan A.
अथवा / OR
मान ज्ञात कीजिये: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
Find the value of: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
हल (Main):
sin A = लम्ब / कर्ण = 3 / 4
पाइथागोरस प्रमेय से: आधार = √(42 – 32) = √(16 – 9) = √7
cos A = आधार / कर्ण = √7 / 4
tan A = लम्ब / आधार = 3 / √7
हल (OR): = (√3 / 2) × (√3 / 2) + (1 / 2) × (1 / 2) = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
हल (OR): = (√3 / 2) × (√3 / 2) + (1 / 2) × (1 / 2) = 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1
प्रश्न 14. एक बिंदु A से, जो वृत्त के केंद्र से 5cm दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिये। (2)
From a point A, which is 5 cm away from the center of the circle, the length of the tangent to the circle is 4 cm. Find the radius of the circle.
From a point A, which is 5 cm away from the center of the circle, the length of the tangent to the circle is 4 cm. Find the radius of the circle.
अथवा / OR
सिद्ध कीजिये कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं समांतर होती हैं।
Prove that the tangents drawn at the endpoints of a diameter of a circle are parallel.
हल (Main):
स्पर्श रेखा वृत्त की त्रिज्या पर लम्ब होती है।
अतः समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से:
त्रिज्या (r) = √((केंद्र से दूरी)2 – (स्पर्श रेखा)2)
r = √(52 – 42) = √(25 – 16) = √9 = 3 cm
हल (OR): प्रमाण: वृत्त के व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ त्रिज्या के साथ 90° का कोण बनाती हैं। चूंकि दोनों एकांतर अंतःकोण (Alternate Interior Angles) 90° के होते हैं, इसलिए दोनों रेखाएं समांतर (Parallel) होती हैं। इति सिद्धम्।
हल (OR): प्रमाण: वृत्त के व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ त्रिज्या के साथ 90° का कोण बनाती हैं। चूंकि दोनों एकांतर अंतःकोण (Alternate Interior Angles) 90° के होते हैं, इसलिए दोनों रेखाएं समांतर (Parallel) होती हैं। इति सिद्धम्।
प्रश्न 15. 6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये, जिसका कोण 60° है। (2)
Find the area of a sector of a circle with a radius of 6 cm and a central angle of 60°.
Find the area of a sector of a circle with a radius of 6 cm and a central angle of 60°.
अथवा / OR
संलग्न आकृति में tan P — cot R का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of tan P — cot R in the attached figure.
हल (Main):
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr2
= (60/360) × π × (6)2
= (1/6) × 36π = 6π cm2 (या 132/7 cm2)
हल (OR): (NCERT 8.1 के अनुसार चित्र में PQ=12cm, PR=13cm है, तो QR=5cm होगा) tan P = लम्ब/आधार = QR/PQ = 5/12 cot R = आधार/लम्ब = QR/PQ = 5/12 tan P – cot R = 5/12 – 5/12 = 0
हल (OR): (NCERT 8.1 के अनुसार चित्र में PQ=12cm, PR=13cm है, तो QR=5cm होगा) tan P = लम्ब/आधार = QR/PQ = 5/12 cot R = आधार/लम्ब = QR/PQ = 5/12 tan P – cot R = 5/12 – 5/12 = 0
प्रश्न 16. दो खिलाड़ी संगीता और रेशमा टेनिस का एक मैच खेलती हैं। संगीता द्वारा मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है। रेशमा के जीतने की प्रायिकता क्या है। (2)
Two players Sangeeta and Reshma play a match of tennis. Probability of Sangeeta winning the match is 0.62. What is the probability that Reshma wins?
Two players Sangeeta and Reshma play a match of tennis. Probability of Sangeeta winning the match is 0.62. What is the probability that Reshma wins?
अथवा / OR
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
A die is rolled once. Find the probability of getting a prime number.
हल (Main):
P(संगीता जीते) = 0.62
चूंकि किसी एक के ही जीतने की घटना है,
P(रेशमा जीते) = 1 – P(संगीता जीते)
= 1 – 0.62 = 0.38
हल (OR): पासे पर कुल परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers) = 2, 3, 5 (कुल 3) प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 3/6 = 1/2
हल (OR): पासे पर कुल परिणाम = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers) = 2, 3, 5 (कुल 3) प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 3/6 = 1/2
प्रश्न 17. सिद्ध कीजिये कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (2)
Prove that √5 is an irrational number.
Prove that √5 is an irrational number.
अथवा / OR
दर्शाइये कि 3 + 2√5 एक अपरिमेय संख्या है।
Show that 3 + 2√5 is an irrational number.
हल (Main):
माना √5 एक परिमेय संख्या है, अतः √5 = p/q (जहाँ p, q सह-अभाज्य हैं)।
दोनों ओर वर्ग करने पर: 5 = p2/q2 ⇒ p2 = 5q2
चूंकि p2 5 से विभाज्य है, अतः p भी 5 से विभाज्य होगा। माना p = 5k.
(5k)2 = 5q2 ⇒ 25k2 = 5q2 ⇒ q2 = 5k2
यहाँ q भी 5 से विभाज्य है।
यह हमारी पूर्व कल्पना (सह-अभाज्य) का विरोधाभास है। अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 18. एक मीनार की छाया उसकी ऊंचाई की √3 गुनी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिये। (3)
The shadow of a tower is √3 times its height. Find the angle of elevation of the sun.
The shadow of a tower is √3 times its height. Find the angle of elevation of the sun.
अथवा / OR
1.5 मीटर लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 मीटर की दूरी पर है। उसकी आंखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊंचाई बताइए।
An observer 1.5 m tall is at a distance of 28.5 m from a chimney. The angle of elevation of the top of the chimney from his eyes is 45°. Find the height of the chimney.
हल (Main):
माना मीनार की ऊँचाई = h
छाया की लम्बाई = h√3
tan θ = लम्ब / आधार = h / (h√3) = 1/√3
चूँकि tan 30° = 1/√3, अतः उन्नयन कोण θ = 30°
हल (OR): माना चिमनी की कुल ऊँचाई H है। आँख के स्तर से ऊपर का हिस्सा = H – 1.5 tan 45° = लम्ब / आधार = (H – 1.5) / 28.5 1 = (H – 1.5) / 28.5 H – 1.5 = 28.5 H = 28.5 + 1.5 = 30 मीटर
हल (OR): माना चिमनी की कुल ऊँचाई H है। आँख के स्तर से ऊपर का हिस्सा = H – 1.5 tan 45° = लम्ब / आधार = (H – 1.5) / 28.5 1 = (H – 1.5) / 28.5 H – 1.5 = 28.5 H = 28.5 + 1.5 = 30 मीटर
प्रश्न 19. सिद्ध कीजिये कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयां बराबर होती हैं। (3)
Prove that the lengths of the tangents drawn from an external point to a circle are equal.
Prove that the lengths of the tangents drawn from an external point to a circle are equal.
अथवा / OR
दो संकेंद्री वृत्तों की त्रिज्याएं 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिये जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
The radii of two concentric circles are 5 cm and 3 cm. Find the length of the chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle.
हल (Main):
वृत्त के केंद्र O से बाह्य बिंदु P और स्पर्श बिंदु A, B को मिलाएं।
ΔOAP और ΔOBP में:
OA = OB (त्रिज्या)
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OAP = ∠OBP = 90° (स्पर्श रेखा लम्ब होती है)
RHS सर्वांगसमता से ΔOAP ≅ ΔOBP
अतः PA = PB (CPCT)
हल (OR): जीवा की आधी लम्बाई पाइथागोरस प्रमेय से निकलेगी। (½ जीवा) = √(52 – 32) = √(25 – 9) = √16 = 4 cm जीवा की कुल लम्बाई = 2 × 4 = 8 cm
हल (OR): जीवा की आधी लम्बाई पाइथागोरस प्रमेय से निकलेगी। (½ जीवा) = √(52 – 32) = √(25 – 9) = √16 = 4 cm जीवा की कुल लम्बाई = 2 × 4 = 8 cm
प्रश्न 20. रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिये; 7x – 15y = 2 और x + 2y = 3 (3)
Solve the pair of linear equations using the substitution method: 7x – 15y = 2 and x + 2y = 3
Solve the pair of linear equations using the substitution method: 7x – 15y = 2 and x + 2y = 3
अथवा / OR
विलोपन विधि का प्रयोग करके हल कीजिये; 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
Solve using the elimination method: 3x + 4y = 10 and 2x – 2y = 2
हल (Main):
समीकरण 2 से: x = 3 – 2y
x का मान समीकरण 1 में रखने पर:
7(3 – 2y) – 15y = 2
21 – 14y – 15y = 2
-29y = -19 ⇒ y = 19/29
x = 3 – 2(19/29) = (87 – 38)/29 = 49/29
हल (OR): 3x + 4y = 10 — (1) 2x – 2y = 2 — (2) समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर: 4x – 4y = 4 — (3) समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर: 7x = 14 ⇒ x = 2 x का मान (2) में रखने पर: 4 – 2y = 2 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1
हल (OR): 3x + 4y = 10 — (1) 2x – 2y = 2 — (2) समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर: 4x – 4y = 4 — (3) समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर: 7x = 14 ⇒ x = 2 x का मान (2) में रखने पर: 4 – 2y = 2 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1
प्रश्न 21. एक खिलौना त्रिज्या 3.5cm वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यारोपित है। खिलौने की कुल ऊंचाई 15.5cm है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये। (4)
A toy is in the shape of a cone of radius 3.5 cm mounted on a hemisphere of the same radius. The total height of the toy is 15.5 cm. Find the total surface area of the toy.
A toy is in the shape of a cone of radius 3.5 cm mounted on a hemisphere of the same radius. The total height of the toy is 15.5 cm. Find the total surface area of the toy.
अथवा / OR
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएं 1 cm हैं तथा शंकु की ऊंचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिये।
A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere, both having radii of 1 cm, and the height of the cone is equal to its radius. Find the volume of this solid in terms of π.
हल (Main):
त्रिज्या (r) = 3.5 cm, कुल ऊँचाई = 15.5 cm
शंकु की ऊँचाई (h) = 15.5 – 3.5 = 12 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(h2 + r2) = √(122 + 3.52) = √(144 + 12.25) = 12.5 cm
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ
= πrl + 2πr2
= (22/7 × 3.5 × 12.5) + (2 × 22/7 × 3.5 × 3.5)
= 137.5 + 77 = 214.5 cm2
हल (OR): r = 1 cm, h = 1 cm ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = (1/3)πr2h + (2/3)πr3 = (1/3)π(1)(1) + (2/3)π(1) = (1/3)π + (2/3)π = (3/3)π = π cm3
हल (OR): r = 1 cm, h = 1 cm ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन = (1/3)πr2h + (2/3)πr3 = (1/3)π(1)(1) + (2/3)π(1) = (1/3)π + (2/3)π = (3/3)π = π cm3
प्रश्न 22. द्विघात समीकरण x2 – 3x – 10 = 0 के मूल गुणनखंड विधि से ज्ञात कीजिये। (4)
Find the roots of the quadratic equation x2 – 3x – 10 = 0 by factorization method.
Find the roots of the quadratic equation x2 – 3x – 10 = 0 by factorization method.
अथवा / OR
दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिये जिनके वर्गों का योग 290 हो।
Find two consecutive odd positive integers whose squares sum to 290.
हल (Main):
x2 – 3x – 10 = 0
x2 – 5x + 2x – 10 = 0
x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
(x – 5)(x + 2) = 0
अतः मूल: x = 5, x = -2
हल (OR): माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक x और (x+2) हैं। x2 + (x+2)2 = 290 x2 + x2 + 4x + 4 = 290 2x2 + 4x – 286 = 0 x2 + 2x – 143 = 0 (x + 13)(x – 11) = 0 चूँकि पूर्णांक धनात्मक हैं, x = 11. अतः संख्याएँ 11 और 13 हैं।
हल (OR): माना दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक x और (x+2) हैं। x2 + (x+2)2 = 290 x2 + x2 + 4x + 4 = 290 2x2 + 4x – 286 = 0 x2 + 2x – 143 = 0 (x + 13)(x – 11) = 0 चूँकि पूर्णांक धनात्मक हैं, x = 11. अतः संख्याएँ 11 और 13 हैं।
प्रश्न 23. किसी फैक्ट्री के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बंटन पर विचार कीजिये: (4)
Consider the following distribution of daily wages of 50 workers in a factory:
Consider the following distribution of daily wages of 50 workers in a factory:
| दैनिक मजदूरी (Daily Wages in Rs.) | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
|---|---|---|---|---|---|
| श्रमिकों की संख्या (No. of workers) | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्ट्री के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिये।
Using a suitable method, find the mean daily wage of the workers of this factory.
हल: प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):
वर्ग चिह्न (xi) निकालने पर:
100-120 → 110, fi = 12, fixi = 1320
120-140 → 130, fi = 14, fixi = 1820
140-160 → 150, fi = 8, fixi = 1200
160-180 → 170, fi = 6, fixi = 1020
180-200 → 190, fi = 10, fixi = 1900
कुल श्रमिक (Σfi) = 50
कुल fixi (Σfixi) = 7260
माध्य (Mean) = Σfixi / Σfi
= 7260 / 50 = 145.2 रुपये
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तैयारी करते रहें, 24 फरवरी 2026 दिन मंगलवार को होने वाली परीक्षा के लिए आत्मविश्वास बनाए रखें, और अच्छे अंकों के साथ सफलता प्राप्त करें।