उच्च गणित / Higher Mathematics – 2026
Answer Key (Set – A)
Q1. Choose the correct option / सही विकल्प चुनकर लिखिए:
(i) Let R be the relation in the set N given by R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6}.
(i) यदि समुच्चय N में R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त संबंध R है, तो
Answer / उत्तर: (c) (6, 8) ∈ R
(ii) If A, B are symmetric matrices of same order, then AB – BA is a
(ii) यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं, तो AB – BA एक
Answer / उत्तर: (a) Skew-symmetric matrix / विषम सममित आव्यूह है
(iii) The number of arbitrary constants in the general solution of a differential equation of fourth order are:
(iii) चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
Answer / उत्तर: (d) 4
(iv) Principal value of sin-1(1/√2) is:
(iv) sin-1(1/√2) का मुख्य मान है:
Answer / उत्तर: (b) π/4
(v) If A is an invertible matrix of order 2, then det(A-1) is equal to:
(v) यदि A कोटि दो का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो det(A-1) बराबर है:
Answer / उत्तर: (b) 1 / det(A)
(vi) The value of î·(ĵ×k̂) + ĵ·(î×k̂) + k̂·(î×ĵ) is:
(vi) î·(ĵ×k̂) + ĵ·(î×k̂) + k̂·(î×ĵ) का मान है:
Answer / उत्तर: (b) -1
Q2. Fill in the blanks / रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) The derivative of ex with respect to x, is ________.
(i) x के सापेक्ष ex का अवकलज ________ होता है।
Answer / उत्तर: ex
(ii) Unique solution of equation AX = B is given by X = ________ where |A| ≠ 0.
(ii) समीकरण AX = B का अद्वितीय हल X = ________ द्वारा दिया जाता है, जहाँ |A| ≠ 0.
Answer / उत्तर: A-1B
(iii) The degree of the differential equation xy(d2y/dx2) + x(dy/dx)2 – y(dy/dx) = 0 is ________.
(iii) अवकल समीकरण xy(d2y/dx2) + x(dy/dx)2 – y(dy/dx) = 0 की घात ________ है।
Answer / उत्तर: 1
(iv) The minimum value of function f given by f(x) = x2, x ∈ R will be ________.
(iv) f(x) = x2, x ∈ R द्वारा प्रदत्त फलन f का निम्नतम मान ________ होगा।
Answer / उत्तर: 0
(v) A quantity that has magnitude as well as direction is called a ________.
(v) एक ऐसी राशि जिसमें परिमाण एवं दिशा दोनों होते हैं, ________ कहलाती है।
Answer / उत्तर: Vector / सदिश
(vi) A matrix is said to be a column matrix if it has only ________.
(vi) एक आव्यूह, स्तंभ आव्यूह कहलाता है, यदि उसमें केवल ________ होता है।
Answer / उत्तर: One column / एक स्तंभ
Q3. Match the correct pair / सही जोड़ी मिलाइए:
| Column ‘A’ | Column ‘B’ (Correct Match / सही मिलान) |
|---|---|
| (i) ∫ sin 2x dx | (d) -cos 2x / 2 + c |
| (ii) ∫ dx / √(1 – x2) | (e) sin-1 x + c |
| (iii) ∫ dx / (1 + x2) | (g) tan-1 x + c |
| (iv) ∫ dx / (x2 – a2) | (a) (1/2a) log |(x-a)/(x+a)| + c |
| (v) ∫ dx / (a2 – x2) | (f) (1/2a) log |(a+x)/(a-x)| + c |
| (vi) ∫ cos 2x dx | (b) sin 2x / 2 + c |
| (vii) ∫ √(a2 – x2) dx | (c) (x/2)√(a2 – x2) + (a2/2)sin-1(x/a) + c |
Q4. Write True or False / सत्य या असत्य लिखिए:
(i) Multiplication of diagonal matrices of same order will be commutative.
(i) समान कोटि के विकर्ण आव्यूहों का गुणन क्रम-विनिमेय होता है।
Answer / उत्तर: True / सत्य
(ii) Two collinear vectors are always equal in magnitude.
(ii) दो संरेख सदिशों का परिमाण सदैव समान होता है।
Answer / उत्तर: False / असत्य
(iii) Every differentiable function is continuous, but the converse is not true.
(iii) प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत होता है किंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।
Answer / उत्तर: True / सत्य
(iv) If A and B are two events such that P(A) ≠ 0 and P(B/A) = 1, then A = φ.
(iv) यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P(B/A) = 1 तब A = φ होगा।
Answer / उत्तर: False / असत्य
(v) Order and degree (if defined) of a differential equation are always positive integers.
(v) किसी अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) हमेशा धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
Answer / उत्तर: True / सत्य
(vi) f : X → Y is an onto function, if and only if range of f = Y.
(vi) f : X → Y एक आच्छादक फलन है, यदि और केवल यदि f का परिसर = Y।
Answer / उत्तर: True / सत्य
Q5. Write the answers in one word/sentence / प्रत्येक का एक शब्द / वाक्य में उत्तर लिखिए:
(i) Write the principal value branches (Range) of sin-1 x.
(i) sin-1 x की मुख्य शाखा (परिसर) लिखिए।
Answer / उत्तर: [-π/2, π/2]
(ii) Define equivalence relation.
(ii) तुल्यता संबंध की परिभाषा लिखिए।
Answer / उत्तर: A relation that is reflexive, symmetric, and transitive. / वह संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक तीनों हो।
(iii) Write the minimum value of (1 – x + x2) / (1 + x + x2), for all real values of x.
(iii) x के सभी वास्तविक मानों के लिए, (1 – x + x2) / (1 + x + x2) का न्यूनतम मान लिखिए।
Answer / उत्तर: 1/3
(iv) Write the general solution of a differential equation of the form dx/dy + P1x = Q1.
(iv) dx/dy + P1x = Q1 के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल लिखिए।
Answer / उत्तर: x · (I.F.) = ∫ Q1 · (I.F.) dy + C (where I.F. = e∫P1dy)
(v) If E and F are independent events, then write the value of P(E ∩ F).
(v) यदि E तथा F स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P(E ∩ F) का मान लिखिए।
Answer / उत्तर: P(E) · P(F)
(vi) Write the equation of a line passing through a point (x1, y1, z1) with direction cosines l, m, n in Cartesian form.
(vi) बिंदु (x1, y1, z1) से जाने वाली रेखा, जिसकी दिक् कोसाइन l, m, n हैं, का कार्तीय रूप में समीकरण लिखिए।
Answer / उत्तर: (x – x1) / l = (y – y1) / m = (z – z1) / n
(vii) Write the value of ∫13 dx.
(vii) ∫13 dx का मान लिखिए।
Answer / उत्तर: 2