MP Board Class 9th Maths Trimasik Pariksha Paper 2026 नमस्कार दोस्तों! मध्य प्रदेश लोक शिक्षण संचालनालय (DPI) द्वारा कक्षा 9वीं की त्रैमासिक परीक्षाएं (Quarterly Exams) 7 सितंबर 2026 से शुरू की जा रही हैं। टाइम टेबल के अनुसार, छात्रों का पहला पेपर ही गणित (Mathematics) विषय का है। गणित एक ऐसा विषय है जिसमें छात्रों को सबसे ज्यादा अभ्यास और सही मार्गदर्शन की आवश्यकता होती है।
अक्सर छात्र परीक्षा से पहले यह जानना चाहते हैं कि गणित का पेपर कैसा आएगा, इसका ब्लूप्रिंट क्या है और परीक्षा देने के बाद वे अपने प्रश्नों का सही सॉल्यूशन (Solution) कहाँ से प्राप्त कर सकते हैं। आज के इस आर्टिकल में हम आपको MP Board 9th Maths Trimasik Pariksha Paper 2026 का पूरा पैटर्न, अंक विभाजन और 100% सटीक सॉल्यूशन पीडीएफ डाउनलोड करने की प्रक्रिया विस्तार से बताएंगे।
त्रैमासिक परीक्षा सत्र 2026-27
कक्षा – 9वीं
विषय – गणित
निर्देश –
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
- प्रत्येक प्रश्न के लिए आवंटित अंक उसके सम्मुख अंकित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक 30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर एक अंक निर्धारित है।
- प्रश्न क्रमांक 6 से 17 तक कुल 12 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर दो अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 18 से 20 तक कुल 03 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर तीन अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 21 से 23 तक कुल 03 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर चार अंक निर्धारित हैं।
प्र.1 सही विकल्प चुनकर लिखिए –
1 × 6 = 6
(i) (243)1/5 का मान है:
उत्तर: (A) 3
हल: 35 = 243, इसलिए (243)1/5 = 3
(ii) (256)1/4 का मान है:
उत्तर: (A) 4
हल: 44 = 256, इसलिए (256)1/4 = 4
(iii) एक परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का योग अथवा अंतर एक ________ संख्या होगी:
उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या
हल: परिमेय व अपरिमेय संख्या का योग/अंतर सदैव अपरिमेय संख्या होता है।
(iv) सभी परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं को एक साथ लेने पर प्राप्त संख्याओं का संग्रह होता है:
उत्तर: (D) वास्तविक
हल: परिभाषा अनुसार परिमेय व अपरिमेय संख्याओं के मिलन से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनता है।
(v) निम्नलिखित में से कौन सा एक बहुपद है?
उत्तर: (B) √2x – 1
हल: बहुपद में चर की घात सदैव पूर्णांक व ऋणेतर होनी चाहिए। √2x – 1 में x की घात 1 है (मान्य)।
(vi) बहुपद 4x4 + 0x3 + 0x5 + 5x + 7 की घात है:
उत्तर: (A) 4
हल: शून्य गुणांक वाले पदों को छोड़कर सर्वोच्च घात वाला पद 4x4 है, अतः घात = 4
प्र.2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
1 × 6 = 6
(i) दो संख्याओं का योग 45000 है, यदि उनमें से एक संख्या 32758 है, तो दूसरी संख्या …………….. है।
(ii) 5483 + = 5785
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत संख्या रेखा पर एक …………….. बिंदु होता है।
(iv) π एक …………….. संख्या का उदाहरण है।
(v) अशून्य अचर पद की घात सदैव …………….. होती है।
(vi) रैखिक बहुपद में चर की अधिकतम घात …………….. होती है।
उत्तर: 12242
हल: 45000 − 32758 = 12242
(ii) 5483 + = 5785
उत्तर: 302
हल: 5785 − 5483 = 302
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत संख्या रेखा पर एक …………….. बिंदु होता है।
उत्तर: अद्वितीय (एक) बिंदु
हल: संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर ठीक एक ही वास्तविक संख्या होती है।
(iv) π एक …………….. संख्या का उदाहरण है।
उत्तर: अपरिमेय
हल: π का दशमलव प्रसार असांत व अनावर्ती है।
(v) अशून्य अचर पद की घात सदैव …………….. होती है।
उत्तर: शून्य (0)
हल: अचर पद को k = k · x0 लिख सकते हैं।
(vi) रैखिक बहुपद में चर की अधिकतम घात …………….. होती है।
उत्तर: 1
हल: रैखिक (Linear) बहुपद की सर्वोच्च घात 1 होती है।
प्र.3 निम्नलिखित के लिए सत्य/असत्य लिखिए –
1 × 6 = 6
(i) सड़क को समतल करने वाला रोलर का पहिया एक बेलनाकार आकृति होती है।
(ii) एक घन में कुल 8 शीर्ष होते हैं।
(iii) संख्या s को अपरिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे pq के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
(iv) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।
(v) बहुपद 5 एक एकपदी व्यंजक है।
(vi) शून्य बहुपद की घात शून्य होती है।
उत्तर: सत्य
(ii) एक घन में कुल 8 शीर्ष होते हैं।
उत्तर: सत्य
(iii) संख्या s को अपरिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे pq के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
उत्तर: असत्य
कारण: यह परिमेय संख्या की परिभाषा है।
(iv) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।
उत्तर: सत्य
(v) बहुपद 5 एक एकपदी व्यंजक है।
उत्तर: सत्य
(vi) शून्य बहुपद की घात शून्य होती है।
उत्तर: असत्य
कारण: शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है।
प्र.4 सही जोड़ी बनाइए –
1 × 6 = 6
स्तम्भ (अ)
(i) -0.85 + 1.25
(ii) -2166
(iii) (125)-1/3
(iv) (√a + √b)(√a – √b)
(v) x3 – y3
(vi) x3 + y3
(ii) -2166
(iii) (125)-1/3
(iv) (√a + √b)(√a – √b)
(v) x3 – y3
(vi) x3 + y3
स्तम्भ (ब)
(a) -36
(b) 15
(c) a – b
(d) (x – y)(x2 + y2 + xy)
(e) (x + y)(x2 + y2 – xy)
(f) 0.40
(b) 15
(c) a – b
(d) (x – y)(x2 + y2 + xy)
(e) (x + y)(x2 + y2 – xy)
(f) 0.40
उत्तर: (i)-(f), (ii)-(a), (iii)-(b), (iv)-(c), (v)-(d), (vi)-(e)
प्र.5 एक वाक्य/शब्द में उत्तर लिखिए –
1 × 6 = 6
(i) एक धनात्मक संख्या लिखिए जिसका वर्ग 121 है।
(ii) 150 मीटर कपड़े के थान में से 123 मीटर कपड़ा काट लिया, बताएं शेष कितना मीटर कपड़ा बचा?
(iii) एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होता है?
(iv) ऐसी संख्या जिसे pq के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, को क्या कहते हैं?
(v) ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य हों, क्या कहलाता है?
(vi) ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद हो, क्या कहलाता है?
उत्तर: 11
(ii) 150 मीटर कपड़े के थान में से 123 मीटर कपड़ा काट लिया, बताएं शेष कितना मीटर कपड़ा बचा?
उत्तर: 27 मीटर
(iii) एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होता है?
उत्तर: सांत या आवर्ती
(iv) ऐसी संख्या जिसे pq के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, को क्या कहते हैं?
उत्तर: अपरिमेय संख्या
(v) ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य हों, क्या कहलाता है?
उत्तर: शून्य बहुपद
(vi) ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद हो, क्या कहलाता है?
उत्तर: एकपदी
प्र.6 664 ÷ 18 को हल करके भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
2
हल: 18 × 36 = 648; 664 − 648 = 16। अतः भागफल = 36, शेषफल = 16
अथवा
रिक्त बॉक्स में >, < या = लगाएँ: 65 13 × 5, 12 13 × 1
हल: 13 × 5 = 65, अतः 65 = 65 ⇒ चिह्न = ; 13 × 1 = 13, और 12 < 13 ⇒ चिह्न <
प्र.7 एक विद्यालय में गणतंत्र दिवस के अवसर पर 645 विद्यार्थी उपस्थित थे। यदि शिक्षकों ने प्रत्येक विद्यार्थी को चार-चार लड्डू वितरित किए तो कुल कितने लड्डू वितरित हुए?
2
हल: कुल लड्डू = 645 × 4 = 2580
अथवा
संख्या 5 के प्रथम चार गुणज लिखिए।
हल: 5 के गुणज 5 से बारी-बारी 5 जोड़कर मिलते हैं: 5, 10, 15, 20
प्र.8 संख्या 532 में क्या घटाएं कि 452 प्राप्त हो?
2
हल: 532 − 452 = 80
अथवा
यदि हिना, आमिर से दो गुनी ऊँची है तो हिना और आमिर की ऊँचाई का अनुपात क्या है?
हल: हिना की ऊँचाई : आमिर की ऊँचाई = 2 : 1
प्र.9 संख्या 35 और 56 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
2
हल: 35 × 56 = 3 × 55 × 6 = 1530 = 12
अथवा
14 को प्रतिशत में बदलिए।
हल: 14 × 100% = 25%
प्र.10 रमेश ने बैंक से 18500 रुपए उधार लिए, दो वर्ष बाद 1360 रुपए ब्याज जोड़कर बैंक का पूरा कर्ज चुकता कर दिया, तो रमेश ने बैंक को कुल कितने रुपए अदा किए?
2
हल: कुल राशि = मूलधन + ब्याज = 18500 + 1360 = 19860 रु
अथवा
अपने आस-पास स्थित कोई 4 चतुर्भुजाकार वस्तुओं के नाम लिखिए।
हल: उदाहरण: किताब, टेबल, दरवाजा, खिड़की (कोई भी 4 सही उत्तर मान्य)
प्र.11 सरल कीजिए: (3 + √3)(3 – √3)
2
हल: सर्वसमिका (a + b)(a – b) = a2 – b2 से: 32 – (√3)2 = 9 – 3 = 6
अथवा
सरल कीजिए: (√5 – √2)(√5 + √2)
हल: सर्वसमिका a2 – b2 से: 5 – 2 = 3
प्र.12 बताइए कि संख्या 5√2 – 3√2 परिमेय है या अपरिमेय।
2
हल: 5√2 – 3√2 = 2√2, और √2 अपरिमेय है इसलिए 2√2 भी अपरिमेय संख्या है।
अथवा
सरल कीजिए: 71/2 · 81/2
हल: घातांक नियम am · bm = (ab)m: = (7 × 8)1/2 = √56 = √(4 × 14) = 2√14
प्र.13 सरल कीजिए: (125)-1/3
2
हल: 1251/3 = 5 (क्योंकि 53 = 125); ऋणात्मक घात से व्युत्क्रम लें: = 15
अथवा
सरल कीजिए: (3 + √3)(3 – √3)
हल: सर्वसमिका a2 – b2 से: 9 – 3 = 6
प्र.14 सरल कीजिए: (3 + √3)(2 + √2)
2
हल: पदों को गुणा करने पर: 6 + 3√2 + 2√3 + √6
अथवा
सरल कीजिए: 2√77
हल: यह पहले से ही सरलतम/परिमेयकृत रूप है।
प्र.15 सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान संगत बहुपद के शून्यक हैं अथवा नहीं: P(x) = x2 – 1, x = 1, -1
2
हल: P(1) = 1 – 1 = 0 ✓; P(-1) = 1 – 1 = 0 ✓; अतः दोनों x = 1 व x = -1, P(x) के शून्यक हैं।
अथवा
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए: 49a2 + 70ab + 25b2
हल: यह (7a)2 + 2(7a)(5b) + (5b)2 रूप है, सर्वसमिका (m + n)2 से = (7a + 5b)2
प्र.16 सर्वसमिका का उपयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए: (4 – 5x)(4 + 5x)
2
हल: सर्वसमिका a2 – b2: = 42 – (5x)2 = 16 – 25x2
अथवा
(2x + 1)3 का प्रसारित रूप लिखिए।
हल: सर्वसमिका (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 जहाँ a = 2x, b = 1: = 8x3 + 12x2 + 6x + 1
प्र.17 गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए: 2x2 + 7x + 3
2
हल: मध्य पद विभाजन से: (2x + 1)(x + 3)
अथवा
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान संगत बहुपद के शून्यक हैं अथवा नहीं: P(x) = x2 – 1, x = 1, -1
हल: P(1) = 0, P(-1) = 0, दोनों शून्यक हैं।
प्र.18 संख्या 450 को 4 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
3
हल: कुल भाग = 4 + 5 = 9; एक भाग = 450 ÷ 9 = 50; पहला भाग = 4 × 50 = 200, दूसरा भाग = 5 × 50 = 250
अथवा
एक आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 32 cm और 18 cm है तो इसकी परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 2(l + w) = 2(32 + 18) = 2 × 50 = 100 cm
प्र.19 1√7 + √6 के हर का परिमेयकरण कीजिए।
3
हल: अंश-हर को (√7 – √6) से गुणा करें: √7 – √6(√7)2 – (√6)2 = √7 – √67 – 6 = √7 – √6
अथवा
12 + √7 के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल: अंश-हर को (2 – √7) से गुणा करें: 2 – √74 – 7 = 2 – √7-3 = √7 – 23
प्र.20 जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x3 + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
3
हल: 7 + 3x = 0 पर x = –73; p(x) = 3x3 + 7x में रखें: p(-73) = 3(-34327) + 7(-73) = –3439 – 493 = –4909 ≠ 0। अतः यह गुणनखण्ड नहीं है।
अथवा
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि (x – 1), P(x) = x2 + x + k का एक गुणनखण्ड है।
हल: (x – 1) गुणनखण्ड है तो x = 1 पर P(1) = 0: 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = -2
प्र.21 एक आयताकार खेत जिसकी लम्बाई 150 मीटर व चौड़ाई 90 मीटर है। उसमें 30 वर्गमीटर की कितनी क्यारियाँ बनाई जा सकती हैं?
4
हल: खेत का क्षेत्रफल = 150 × 90 = 13500 वर्गमी; क्यारियों की संख्या = 13500 ÷ 30 = 450
अथवा
हिना के पास 30 बटन हैं। उसने 15 भाग करीम को और 13 भाग जावेद को दिया। बताएं, किसके पास कितने बटन शेष बचे?
हल: करीम को = 30 × 15 = 6; जावेद को = 30 × 13 = 10; हिना के पास शेष = 30 – 6 – 10 = 14 बटन
प्र.22 दिखाइए कि 1.27 को pq के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
4
हल: मान लें x = 1.272727…। 100x = 127.2727…। घटाने पर 100x – x = 126 ⇒ 99x = 126 ⇒ x = 12699 = 1411
अथवा
57 और 78 के बीच छह परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल: 57 = 4056, 78 = 4956; बीच की छह संख्याएँ: 4156, 4256, 4356, 4456, 4556, 4656
प्र.23 गुणनखंडन कीजिए: 8a3 – b3 – 12a2b + 6ab2
4
हल: पुनर्व्यवस्थित करें: 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 = (2a)3 – 3(2a)2b + 3(2a)b2 – b3; सर्वसमिका (x – y)3 से = (2a – b)3
अथवा
नीचे दिए गए आयत का क्षेत्रफल 25a2 – 35a + 12 दिया गया है; लंबाई व चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
हल: मध्य पद विभाजन: 25a2 – 15a – 20a + 12 = 5a(5a – 3) – 4(5a – 3) = (5a – 3)(5a – 4); अतः लंबाई = (5a – 3), चौड़ाई = (5a – 4)
MP Board 9th Maths Quarterly Exam 2026
| विवरण (Description) | जानकारी (Information) |
| बोर्ड का नाम | मध्य प्रदेश बोर्ड (MPBSE) / DPI |
| परीक्षा का नाम | त्रैमासिक परीक्षा 2026-27 |
| कक्षा (Class) | 9वीं (9th) |
| विषय (Subject) | गणित (Mathematics) |
| परीक्षा तिथि (Exam Date) | 07 सितंबर 2026 (सोमवार) |
| परीक्षा का समय | प्रातः 10:00 बजे से दोपहर 1:00 बजे तक |
| कुल अंक (पूर्णांक) | 75 अंक |
MP Board कक्षा 9वी गणित त्रैमासिक परीक्षा पेपर 2026 कब है?
मध्य प्रदेश बोर्ड द्वारा जारी त्रैमासिक परीक्षा की समय सारणी के अनुसार, कक्षा 9वीं का गणित विषय का पेपर सबसे पहले 07 सितंबर 2026 (सोमवार) को आयोजित किया जाएगा। सभी विद्यार्थियों को प्रातः 9:30 बजे तक अपने परीक्षा केंद्र पर पहुंचना अनिवार्य है। परीक्षा प्रातः 10:00 बजे से शुरू होकर दोपहर 1:00 बजे तक चलेगी।
कक्षा 9वी गणित त्रैमासिक परीक्षा का पैटर्न और अंक विभाजन (Marks Distribution)
त्रैमासिक परीक्षा सत्र 2026-27
कक्षा - 9वीं
विषय - गणित
निर्देश -
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
- प्रत्येक प्रश्न के लिए आवंटित अंक उसके सम्मुख अंकित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक 30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर एक अंक निर्धारित है।
- प्रश्न क्रमांक 6 से 17 तक कुल 12 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर दो अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 18 से 20 तक कुल 03 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर तीन अंक निर्धारित हैं।
- प्रश्न क्रमांक 21 से 23 तक कुल 03 प्रश्न होंगे, प्रत्येक प्रश्न पर चार अंक निर्धारित हैं।
प्र.1 सही विकल्प चुनकर लिखिए -
1 × 6 = 6
(i) (243)1/5 का मान है:
उत्तर: (A) 3
हल: 35 = 243, इसलिए (243)1/5 = 3
(ii) (256)1/4 का मान है:
उत्तर: (A) 4
हल: 44 = 256, इसलिए (256)1/4 = 4
(iii) एक परिमेय संख्या तथा अपरिमेय संख्या का योग अथवा अंतर एक ________ संख्या होगी:
उत्तर: (B) अपरिमेय संख्या
हल: परिमेय व अपरिमेय संख्या का योग/अंतर सदैव अपरिमेय संख्या होता है।
(iv) सभी परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं को एक साथ लेने पर प्राप्त संख्याओं का संग्रह होता है:
उत्तर: (D) वास्तविक
हल: परिभाषा अनुसार परिमेय व अपरिमेय संख्याओं के मिलन से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनता है।
(v) निम्नलिखित में से कौन सा एक बहुपद है?
उत्तर: (B) √2x - 1
हल: बहुपद में चर की घात सदैव पूर्णांक व ऋणेतर होनी चाहिए। √2x - 1 में x की घात 1 है (मान्य); शेष विकल्पों में ऋणात्मक/भिन्नात्मक घात है।
(vi) बहुपद 4x4 + 0x3 + 0x5 + 5x + 7 की घात है:
उत्तर: (A) 4
हल: शून्य गुणांक वाले पद (0x3, 0x5) की गणना नहीं होती; शेष में सर्वोच्च घात वाला पद 4x4 है, अतः घात = 4
प्र.2 रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए -
1 × 6 = 6
(i) दो संख्याओं का योग 45000 है, यदि उनमें से एक संख्या 32758 है, तो दूसरी संख्या ................. है। [उत्तर: 12242]
(ii) 5483 + = 5785 [उत्तर: 302]
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत संख्या रेखा पर एक ................. बिंदु होता है। [उत्तर: अद्वितीय (एक) बिंदु]
(iv) π एक ................. संख्या का उदाहरण है। [उत्तर: अपरिमेय]
(v) अशून्य अचर पद की घात सदैव ................. होती है। [उत्तर: शून्य (0)]
(vi) रैखिक बहुपद में चर की अधिकतम घात ................. होती है। [उत्तर: 1]
हल: 45000 − 32758 = 12242
(ii) 5483 + = 5785 [उत्तर: 302]
हल: 5785 − 5483 = 302
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत संख्या रेखा पर एक ................. बिंदु होता है। [उत्तर: अद्वितीय (एक) बिंदु]
हल: संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर ठीक एक ही वास्तविक संख्या होती है (एकैकी संगति)।
(iv) π एक ................. संख्या का उदाहरण है। [उत्तर: अपरिमेय]
हल: π का दशमलव प्रसार असांत व अनावर्ती है, अतः यह अपरिमेय संख्या है।
(v) अशून्य अचर पद की घात सदैव ................. होती है। [उत्तर: शून्य (0)]
हल: अचर पद को k = k · x0 लिख सकते हैं, अतः इसकी घात 0 होती है।
(vi) रैखिक बहुपद में चर की अधिकतम घात ................. होती है। [उत्तर: 1]
हल: रैखिक (Linear) बहुपद की परिभाषा अनुसार सर्वोच्च घात 1 होती है।
प्र.3 निम्नलिखित के लिए सत्य/असत्य लिखिए -
1 × 6 = 6
(i) सड़क को समतल करने वाला रोलर का पहिया एक बेलनाकार आकृति होती है। [उत्तर: सत्य]
(ii) एक घन में कुल 8 शीर्ष होते हैं। [उत्तर: सत्य]
(iii) संख्या s को अपरिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे pq के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है। [उत्तर: असत्य]
(iv) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है। [उत्तर: सत्य]
(v) बहुपद 5 एक एकपदी व्यंजक है। [उत्तर: सत्य]
(vi) शून्य बहुपद की घात शून्य होती है। [उत्तर: असत्य]
कारण: रोलर का पहिया गोल व लम्बा होता है जो बेलन (सिलेंडर) के आकार का होता है, अतः यह सत्य है।
(ii) एक घन में कुल 8 शीर्ष होते हैं। [उत्तर: सत्य]
कारण: घन के 8 कोने (शीर्ष) होते हैं, अतः यह सत्य है।
(iii) संख्या s को अपरिमेय संख्या कहा जाता है यदि इसे pq के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है। [उत्तर: असत्य]
कारण: यह परिमेय संख्या की परिभाषा है, अपरिमेय संख्या की नहीं — अतः असत्य है।
(iv) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है। [उत्तर: सत्य]
कारण: किसी भी पूर्णांक n को n1 रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह सत्य है।
(v) बहुपद 5 एक एकपदी व्यंजक है। [उत्तर: सत्य]
कारण: इसमें केवल एक ही पद है, अतः यह एकपदी (Monomial) है — सत्य है।
(vi) शून्य बहुपद की घात शून्य होती है। [उत्तर: असत्य]
कारण: शून्य बहुपद की घात परिभाषित (अपरिभाषित/undefined) नहीं होती, शून्य नहीं — अतः असत्य है।
प्र.4 सही जोड़ी बनाइए -
1 × 6 = 6
स्तम्भ (अ)
(i) -0.85 + 1.25
(ii) -2166
(iii) (125)-1/3
(iv) (√a + √b)(√a - √b)
(v) x3 - y3
(vi) x3 + y3
(ii) -2166
(iii) (125)-1/3
(iv) (√a + √b)(√a - √b)
(v) x3 - y3
(vi) x3 + y3
स्तम्भ (ब)
(a) -36
(b) 15
(c) a - b
(d) (x - y)(x2 + y2 + xy)
(e) (x + y)(x2 + y2 - xy)
(f) 0.40
(b) 15
(c) a - b
(d) (x - y)(x2 + y2 + xy)
(e) (x + y)(x2 + y2 - xy)
(f) 0.40
उत्तर: (i)-(f), (ii)-(a), (iii)-(b), (iv)-(c), (v)-(d), (vi)-(e)
(i) हल: -0.85 + 1.25 = 0.40
(ii) हल: 216 ÷ 6 = 36, ऋण चिह्न सहित -36
(iii) हल: 1251/3 = 5, ऋणात्मक घात से व्युत्क्रम = 15
(iv) हल: सर्वसमिका (m + n)(m - n) = m2 - n2 से a - b
(v) हल: घनों के अंतर की सर्वसमिका a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
(vi) हल: घनों के योग की सर्वसमिका a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
प्र.5 एक वाक्य/शब्द में उत्तर लिखिए -
1 × 6 = 6
(i) एक धनात्मक संख्या लिखिए जिसका वर्ग 121 है। [उत्तर: 11]
(ii) 150 मीटर कपड़े के थान में से 123 मीटर कपड़ा काट लिया, बताएं शेष कितना मीटर कपड़ा बचा? [उत्तर: 27 मीटर]
(iii) एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होता है? [उत्तर: सांत या आवर्ती (terminating or repeating)]
(iv) ऐसी संख्या जिसे pq के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, को क्या कहते हैं? [उत्तर: अपरिमेय संख्या]
(v) ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य हों, क्या कहलाता है? [उत्तर: शून्य बहुपद (Zero polynomial)]
(vi) ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद हो, क्या कहलाता है? [उत्तर: एकपदी (Monomial)]
हल: 112 = 121
(ii) 150 मीटर कपड़े के थान में से 123 मीटर कपड़ा काट लिया, बताएं शेष कितना मीटर कपड़ा बचा? [उत्तर: 27 मीटर]
हल: 150 − 123 = 27 मीटर
(iii) एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार किस प्रकार का होता है? [उत्तर: सांत या आवर्ती (terminating or repeating)]
हल: यह परिमेय संख्या की परिभाषा से प्राप्त तथ्य है।
(iv) ऐसी संख्या जिसे pq के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, को क्या कहते हैं? [उत्तर: अपरिमेय संख्या]
हल: अपरिमेय संख्या की यही परिभाषा है।
(v) ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य हों, क्या कहलाता है? [उत्तर: शून्य बहुपद (Zero polynomial)]
हल: यह परिभाषा से सीधे प्राप्त है।
(vi) ऐसा बहुपद जिसमें केवल एक पद हो, क्या कहलाता है? [उत्तर: एकपदी (Monomial)]
हल: एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहते हैं।
प्र.6 664 ÷ 18 को हल करके भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए।
2
हल: 18 × 36 = 648; 664 − 648 = 16। अतः भागफल = 36, शेषफल = 16
अथवा
रिक्त बॉक्स में >, < या = लगाएँ: 65 13 × 5, 12 13 × 1
हल: 13 × 5 = 65, अतः 65 = 65 ⇒ चिह्न = ; 13 × 1 = 13, और 12 < 13 ⇒ चिह्न <
प्र.7 एक विद्यालय में गणतंत्र दिवस के अवसर पर 645 विद्यार्थी उपस्थित थे। यदि शिक्षकों ने प्रत्येक विद्यार्थी को चार-चार लड्डू वितरित किए तो कुल कितने लड्डू वितरित हुए?
2
हल: कुल लड्डू = 645 × 4 = 2580
अथवा
संख्या 5 के प्रथम चार गुणज लिखिए।
हल: 5 के गुणज 5 से बारी-बारी 5 जोड़कर मिलते हैं: 5, 10, 15, 20
प्र.8 संख्या 532 में क्या घटाएं कि 452 प्राप्त हो?
2
हल: 532 − 452 = 80
अथवा
यदि हिना, आमिर से दो गुनी ऊँची है तो हिना और आमिर की ऊँचाई का अनुपात क्या है?
हल: हिना की ऊँचाई : आमिर की ऊँचाई = 2 : 1
प्र.9 संख्या 35 और 56 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
2
हल: 35 × 56 = 3 × 55 × 6 = 1530 = 12
अथवा
14 को प्रतिशत में बदलिए।
हल: 14 × 100% = 25%
प्र.10 रमेश ने बैंक से 18500 रुपए उधार लिए, दो वर्ष बाद 1360 रुपए ब्याज जोड़कर बैंक का पूरा कर्ज चुकता कर दिया, तो रमेश ने बैंक को कुल कितने रुपए अदा किए?
2
हल: कुल राशि = मूलधन + ब्याज = 18500 + 1360 = 19860 रु
अथवा
अपने आस-पास स्थित कोई 4 चतुर्भुजाकार वस्तुओं के नाम लिखिए।
हल: उदाहरण: किताब, टेबल, दरवाजा, खिड़की (कोई भी 4 सही उत्तर मान्य)
प्र.11 सरल कीजिए: (3 + √3)(3 - √3)
2
हल: सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a2 - b2 से: 32 - (√3)2 = 9 - 3 = 6
अथवा
सरल कीजिए: (√5 - √2)(√5 + √2)
हल: सर्वसमिका a2 - b2 से: 5 - 2 = 3
प्र.12 बताइए कि संख्या 5√2 - 3√2 परिमेय है या अपरिमेय।
2
हल: 5√2 - 3√2 = 2√2, और √2 अपरिमेय है इसलिए 2√2 भी अपरिमेय संख्या है।
अथवा
सरल कीजिए: 71/2 · 81/2
हल: घातांक नियम am · bm = (ab)m: = (7 × 8)1/2 = √56 = √(4 × 14) = 2√14
प्र.13 सरल कीजिए: (125)-1/3
2
हल: 1251/3 = 5 (क्योंकि 53 = 125); ऋणात्मक घात से व्युत्क्रम लें: = 15
अथवा
सरल कीजिए: (3 + √3)(3 - √3)
हल: सर्वसमिका a2 - b2 से: 9 - 3 = 6
प्र.14 सरल कीजिए: (3 + √3)(2 + √2)
2
हल: पदों को गुणा करने पर: 6 + 3√2 + 2√3 + √6
अथवा
सरल कीजिए: 2√77
हल: यह पहले से ही सरलतम/परिमेयकृत रूप है।
प्र.15 सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान संगत बहुपद के शून्यक हैं अथवा नहीं: P(x) = x2 - 1, x = 1, -1
2
हल: P(1) = 1 - 1 = 0 ✓; P(-1) = 1 - 1 = 0 ✓; अतः दोनों x = 1 व x = -1, P(x) के शून्यक हैं।
अथवा
गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए: 49a2 + 70ab + 25b2
हल: यह (7a)2 + 2(7a)(5b) + (5b)2 रूप है, सर्वसमिका (m + n)2 से = (7a + 5b)2
प्र.16 सर्वसमिका का उपयोग करके निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए: (4 - 5x)(4 + 5x)
2
हल: सर्वसमिका a2 - b2: = 42 - (5x)2 = 16 - 25x2
अथवा
(2x + 1)3 का प्रसारित रूप लिखिए।
हल: सर्वसमिका (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 जहाँ a = 2x, b = 1: = 8x3 + 12x2 + 6x + 1
प्र.17 गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए: 2x2 + 7x + 3
2
हल: मध्य पद विभाजन से: (2x + 1)(x + 3)
अथवा
सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान संगत बहुपद के शून्यक हैं अथवा नहीं: P(x) = x2 - 1, x = 1, -1
हल: P(1) = 0, P(-1) = 0, दोनों शून्यक हैं।
प्र.18 संख्या 450 को 4 : 5 के अनुपात में बाँटिए।
3
हल: कुल भाग = 4 + 5 = 9; एक भाग = 450 ÷ 9 = 50; पहला भाग = 4 × 50 = 200, दूसरा भाग = 5 × 50 = 250
अथवा
एक आयत की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 32 cm और 18 cm है तो इसकी परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 2(l + w) = 2(32 + 18) = 2 × 50 = 100 cm
प्र.19 1√7 + √6 के हर का परिमेयकरण कीजिए।
3
हल: अंश-हर को (√7 - √6) से गुणा करें: √7 - √6(√7)2 - (√6)2 = √7 - √67 - 6 = √7 - √6
अथवा
12 + √7 के हर का परिमेयकरण कीजिए।
हल: अंश-हर को (2 - √7) से गुणा करें: 2 - √74 - 7 = 2 - √7-3 = √7 - 23
प्र.20 जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x3 + 7x का एक गुणनखण्ड है या नहीं।
3
हल: 7 + 3x = 0 पर x = -73; p(x) = 3x3 + 7x में रखें: p(-73) = 3(-34327) + 7(-73) = -3439 - 493 = -4909 ≠ 0। अतः यह गुणनखण्ड नहीं है।
अथवा
k का मान ज्ञात कीजिए जबकि (x - 1), P(x) = x2 + x + k का एक गुणनखण्ड है।
हल: (x - 1) गुणनखण्ड है तो x = 1 पर P(1) = 0: 1 + 1 + k = 0 ⇒ k = -2
प्र.21 एक आयताकार खेत जिसकी लम्बाई 150 मीटर व चौड़ाई 90 मीटर है। उसमें 30 वर्गमीटर की कितनी क्यारियाँ बनाई जा सकती हैं?
4
हल: खेत का क्षेत्रफल = 150 × 90 = 13500 वर्गमी; क्यारियों की संख्या = 13500 ÷ 30 = 450
अथवा
हिना के पास 30 बटन हैं। उसने 15 भाग करीम को और 13 भाग जावेद को दिया। बताएं, किसके पास कितने बटन शेष बचे?
हल: करीम को = 30 × 15 = 6; जावेद को = 30 × 13 = 10; हिना के पास शेष = 30 - 6 - 10 = 14 बटन
प्र.22 दिखाइए कि 1.27 को pq के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
4
हल: मान लें x = 1.272727...। 100x = 127.2727...। घटाने पर 100x - x = 126 ⇒ 99x = 126 ⇒ x = 12699 = 1411
अथवा
57 और 78 के बीच छह परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल: 57 = 4056, 78 = 4956; बीच की छह संख्याएँ: 4156, 4256, 4356, 4456, 4556, 4656
प्र.23 गुणनखंडन कीजिए: 8a3 - b3 - 12a2b + 6ab2
4
हल: पुनर्व्यवस्थित करें: 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 = (2a)3 - 3(2a)2b + 3(2a)b2 - b3; सर्वसमिका (x - y)3 से = (2a - b)3
अथवा
नीचे दिए गए आयत का क्षेत्रफल 25a2 - 35a + 12 दिया गया है; लंबाई व चौड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए।
हल: मध्य पद विभाजन: 25a2 - 15a - 20a + 12 = 5a(5a - 3) - 4(5a - 3) = (5a - 3)(5a - 4); अतः लंबाई = (5a - 3), चौड़ाई = (5a - 4)
गणित का प्रश्न पत्र कुल 75 अंकों का होगा और इसे हल करने के लिए 3 घंटे का समय मिलेगा। पूरे पेपर में कुल 28 प्रश्न पूछे जाएंगे। प्रश्न क्रमांक 1 से 5 तक कुल 30 वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Questions) रहेंगे। छात्रों की सुविधा के लिए अध्याय-वार अंक विभाजन नीचे दिया गया है:
- ब्रिज कोर्स (Bridge Course) - 27 अंक:ब्रिज कोर्स से परीक्षा में सबसे अधिक प्रश्न आएंगे। इसमें 10 अंक के वस्तुनिष्ठ प्रश्न होंगे (जिसमें 2 बहुविकल्पीय, 2 रिक्त स्थान, 2 सत्य/असत्य, 2 सही जोड़ी और 2 एक वाक्य में उत्तर शामिल हैं)। इसके अलावा 2 अंक के 5 प्रश्न, 3 अंक का 1 प्रश्न और 4 अंक का 1 प्रश्न पूछा जाएगा।
- अध्याय 1 (संख्या पद्धति) - 25 अंक:इस अध्याय से कुल 25 अंकों के प्रश्न पूछे जाएंगे, जिसमें वस्तुनिष्ठ और वर्णनात्मक दोनों प्रकार के प्रश्न शामिल होंगे।
- अध्याय 2 (बहुपद) - 23 अंक:बहुपद वाले अध्याय से 23 अंकों के महत्वपूर्ण प्रश्न परीक्षा में देखने को मिलेंगे।
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FAQs (अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न)
Q1. कक्षा 9वीं गणित त्रैमासिक परीक्षा 2026 कितने अंकों की होगी?
Ans: गणित विषय की त्रैमासिक परीक्षा का पूर्णांक 75 अंक निर्धारित किया गया है, जिसे 3 घंटे में हल करना होगा।
Q2. गणित के पेपर में ब्रिज कोर्स से कितने अंक के प्रश्न आएंगे?
Ans: गणित के पेपर में ब्रिज कोर्स से कुल 27 अंकों के प्रश्न पूछे जाएंगे, जिसमें वस्तुनिष्ठ और लघु/दीर्घ उत्तरीय प्रश्न शामिल होंगे।
Q3. कक्षा 9वी गणित त्रैमासिक परीक्षा पेपर सॉल्यूशन कैसे प्राप्त करें?
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